無限べき乗塔へのいざない
無限べき乗塔(Power Tower)とは以下のように定義される関数です。
\[h(z)=z^{z^{z^{z^\cdots}}}\]
より厳密に言えば
\[h_1(z)=z, h_n(z)=z^{h_{n-1}(z)}, n \geq 1\]
と定義された関数列 $h_n(z)$ の極限 $h(z)$
\[h(z)=\lim_{n \to \infty}h_n(z)\]
のこと。$z$ の定義域を明示していませんが、ここではそれの一端を確定させていきます。$z=1$ の場合、$h(1)=1$ は自明。
簡単な例として、$h(\sqrt{2})$は2となる、つまり数列$\{h_n(\sqrt{2})\}_{n \in \mathbb{N}}$は2に収束する。このことは中等数学の範囲で証明可能。
略記として、$a_n=h_n\left(\sqrt{2}\right)$と置こう。漸化式は $a_n=\sqrt{2}^{a_{n-1}}$ となる。
また $a_n$ は
\[a_n = \sqrt{2}^{a_{n-1}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}}} < \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots^{\sqrt{2}^2}}} = 2\]
である。$n$階層のべき乗塔の一番上の$\sqrt{2}$を2に置き換えた右辺は左辺より大きいこと、$\sqrt{2}^2=2$の連鎖が続いて最終的に2になることに注意しよう。
さらに $a_{n-1} \leq a_n$であることも分かる。つまり数列 $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ は有界な単調増加数列である。有界な単調増加数列は収束値を持つという事実から、この数列は収束値を持つ。この収束値を $a$ とすれば、漸化式の両辺を $n \to \infty$ の極限を取ることによって以下の方程式を得る。
\[a=\sqrt{2}^a\]
この実数解は $y=x-\sqrt{2}^x$ のグラフを考察することによって $a=2$ または $a=4$ であることが分かるが、$a_n<2$ より$a=2$ が支持される。よって
\[h(\sqrt{2})=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\cdots}}=2\]
であることが証明できた。
この無限べき乗塔の$z=\sqrt{2}$の場合、
\[\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\]
であるという特徴を使うことで証明できた。$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4142135\cdots$ であるが、$\sqrt{2}$ よりも多少大きな数$z$でも無限べき乗塔が収束することは数値計算で類推できる。前述の有界性の証明の時に用いた論法を使うのであれば
\[z=x^\frac{1}{x}\]
を考察すれば良いことになる。$x=3$ の場合、$z=3^{\frac{1}{3}} \fallingdotseq 1.4422495703074\cdots$ という値を持つが、この数値で無限べき乗塔の数値計算をしても収束することとなる。ただし収束値は3ではないことに注意。3が上界の単調増加数列で収束値を持つことは前述と同様の議論で導けるが、収束値は3ではない(計算の詳細は割愛するが、収束値の概算は$h(3^{1/3}) \fallingdotseq 2.47805268\cdots$)。
計算をしてみると
\[y=x^\frac{1}{x}\]
は、$x$ が $e$ の時、極大値 $e^{1/e} \fallingdotseq 1.4446678610097\cdots$ を持つことが分かる。これも上述と同様の論法で収束することが証明でき、数値計算でも収束の様子を確認することができる。また、この値よりも少しでも大きな値を数値計算で確認すると発散することが数値計算で類推される。この場合は、$z=\sqrt{2}$ の場合と同様の論法で $h(e^{1/e})=e$ であることが分かる。
$h(z)$ を振り返ると
\[h(1)=1, (z=x^{1/x}, x=1)\]
は自明であり、$1 \leq z \leq e^{1/e}$ の場合、無限べき乗塔は収束値を持つことが分かった。
ただ、$z > e^{1/e}$ の場合の厳密な発散性、そして $z < 1$ の場合の考察はまだしていない。$z < 1$ の場合の考察も面白い結果をもたらしてくれるが、それはまた次回、またはここまで記事を読んでくださった方へのプレゼント問題としたい。
私は無限べき乗塔の高度な性質を知らないが、解析接続の手法を使うことで、ほとんどいたるところ $z \in \mathbb{C}$ において $h(z)$ を拡張することができるだろう。
二次方程式の解の公式と代数的なお話
\[ax^2+bx+c=0, a \neq 0\]
の解$x$は実数係数$a,b,c$を使って以下のように書ける。これを二次方程式の解の公式という。
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
この時、$D=b^2-4ac$と置いた場合、xが実数解のみ持つことを仮定する場合、$D>0$の場合解は2つ、$D=0$の場合解は1つ、$D<0$の場合解を持たないことになる。この$D$を判別式と呼ぶ。
解として複素数を認める場合、二次方程式は必ず重複度を含めて2個の解を持つ。また同様に定義された$n$次方程式(代数方程式)は必ず重複度を込めて$n$個の解を持つ。これを代数学の基本定理と呼ぶ。
解の重複度とは、方程式の左辺を一次の式で因数分解した際に、同じ項が複数出てくることである、例えば以下の場合、左辺は $(x+1)^2$ と因数分解されるので $x=-1$ が二重解となっている。
\[ x^2 +2x + 1= 0\]
上述の二次方程式は、実係数 $a,b,c$ の場合にも複素数解を持つことになるが、$a,b,c$を複素係数にしても、$x$が複素数よりもさらに広い数体系を要求することはなく、代数学の基本定理が同様に成り立つ。このような複素数、および複素数に加法と乗法の演算を定義した複素数体上での上述のような性質を複素数は代数的閉体であるという。
代数学の基本定理と代数的閉体の性質は、複素数と複素係数の代数方程式の特徴的な性質である。ただ、その証明は中等数学の範囲では容易ではなく、簡便な証明方法は高等数学での解析学的手法に頼ることになるところが面白いところと言える。具体的には任意の複素係数$n$次多項式
\[f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k, (a_n \in \mathbb{C}, \forall n \in \mathbb{N})\]
において1次の因数分解
\[f(z)=(z-\alpha)g(z)\]
が出来ればよい(そうすれば複素係数$n-1$次多項式$g(z)$も帰納的に因数分解ができて$f(z)=c \sum_{k=0}^n (z-\alpha_k), (\exists c \in \mathbb{C})$ の形で表せる)ことになるが、この証明を簡便に済ませるためには、複素解析学のリウヴィルの定理や、それよりも強いピカールの定理を動員する必要がある。代数学の基本定理の証明に解析学の性質(この場合、実際は複素数に通常の絶対値としての距離(ノルム)を導入した時の集合論としてのコンパクト性によるもの)を使うというのも面白い。
高校生が「なんで虚数なんて『ウソの数』なんて作る必要があるんだ」とブーたれるほのぼのとしたケースはよく見られるが、代数的には虚数単位$i$さえ導入すれば、今まで代数方程式を解くために、自然数、ゼロ、負の数、有理数、無理数、実数と散々広げてきた数の体系をこれ以上広げなくても良い(複素数の代数的閉体のとしての性質)という点が重要かつ深淵なのです。それ以上に、複素数が自然界の計算を理路整然と語り、現代科学を支える部分は非常に多岐に渡ります。
放物線からはじめてみる
$y=x^2$
はてなブログにMathJaxを導入してみるテスト。はてなブログ一周年記念。はてなブログ1周年おめでとう！ id:hatenablog
MathJax の設定次第だけど、y=x^2 ってドル記号ではさんで書くと $y=x^2$ になるよ！フォントが綺麗！ブラウザやOSなどの環境にもよるだろうけど。
